Matematika · poznámky

1.b Dôkazy

Základné pojmy

Pojmy a čo je matematická veta

Vysvetli nasledujúce pojmy: priamy dôkaz, nepriamy dôkaz, dôkaz sporom.

Definícia

Matematická veta

Pravdivý matematický výrok, ktorý sa dá logicky odôvodniť (dokázať).

Poznámka

Pri dôkazoch sa nepripúšťa

názor
experiment
pozorovanie
intuícia
skúsenosť

Poznámka

Dôkaz vychádza z

axiómy
definície
už skôr dokázané vety

Typy dôkazov

Priamy dôkaz

Definícia

Priamy dôkaz

Pozostáva z konečného reťazca implikácií: prvý člen je už dokázané tvrdenie, každý ďalší je logický dôsledok predchádzajúcich, posledný člen je dokazované tvrdenie.

Vzorec

Schéma priameho dôkazu

T_{1} R i g h t a r r o w T_{2} R i g h t a r r o w c d o t s R i g h t a r r o w T_{n} R i g h t a r r o w T

Príklad

Dokážte, že súčet každých troch za sebou idúcich čísel je deliteľný číslom 3.

Riešenie

Tri po sebe idúce čísla zapíšeme ako

n

n + 1

n + 2

n + (n + 1) + (n + 2) = 3 n + 3 = 3 (n + 1)

Teda výraz je deliteľný 3.

Nepriamy dôkaz (cez obmenu)

Definícia

Nepriamy dôkaz

Pri nepriamom dôkaze dokazujeme obmenu vety (kontrapozíciu). Pravdivostná hodnota vety a jej obmeny je rovnaká.

Príklad

Príklad (párnosť)

Dokážte vetu: pre každé prirodzené číslo n platí: ak 2 delí n², tak 2 delí n.

f or a l l n in ma t hbb N :; 2 mi d n^{2} R i g h t a r r o w 2 mi d n

Riešenie

Urobíme obmenu vety:

f or a l l n in ma t hbb N :; 2 nmi d n R i g h t a r r o w 2 nmi d n^{2}

Ak je

n

nepárne, vieme ho zapísať ako

n = 2 k + 1

n^{2} = (2 k + 1)^{2} = 4 k^{2} + 4 k + 1

Tento výsledok je nepárny, teda

2 nmi d n^{2}

. Platí obmena, a preto aj pôvodná veta.

Dôkaz sporom

Definícia

Dôkaz sporom

Znegujeme matematickú vetu a dokazujeme priamo. Ak dôjdeme k sporu, negácia nemôže platiť, takže platí pôvodná veta.

Príklad

Príklad (nerovnosť)

Dokážte sporom vetu: Pre všetky kladné reálne čísla a, b platí:

V :; f r a c a b + f r a c b a g e 2 q u a d (a > 0,; b > 0)

Riešenie

Urobíme negáciu vety:

V^{'} :; f r a c a b + f r a c b a < 2

Vynásobíme

ab

(platí

ab > 0

Spor, lebo

(a - b)^{2} g e 0

. Negácia neplatí, takže platí

V

Príklady (1–21)

Zadania

Cvičenie

Dokážte, že platí:

f or a l l x, a, b in ma t hbb Z :; (x mi d a w e d g e x mi d b) R i g h t a r r o w x mi d (a + b)

Cvičenie

Priamym dôkazom dokážte vetu:

[a, b, c in ma t hbb R^{+} w e d g e f r a c a b > 1] R i g h t a r r o w [f r a c a + c b + c > 1]

Cvičenie

Priamym dôkazom dokážte vetu:

a, b in ma t hbb R^{+} R i g h t a r r o w f r a c a + b 2 g e s q r t ab

Cvičenie

Priamym dôkazom dokážte vetu:

a, b, c in ma t hbb R^{+} R i g h t a r r o w a^{2} + b^{2} + c^{2} g e ab + a c + b c

Cvičenie

Priamym dôkazom dokážte vetu:

f or a l l a in ma t hbb N :; a^{3} - a = 6 t, t in ma t hbb N

Cvičenie

Dokážte, že platí:

f or a l l n in ma t hbb N :; 3 mi d (n^{3} + 2 n)

Cvičenie

Dokážte, že platí:

f or a l l n in ma t hbb N :; 4 mi d (n^{4} - n^{2}),; 6 mi d (n^{5} - n),; 12 mi d (n^{4} - n^{2})

Cvičenie

Pomocou obmeny dokážte, že platí:

f or a l l n in ma t hbb N :; 5 mi d (n^{2} + 6) R i g h t a r r o w 5 nmi d n

Cvičenie

Nepriamym dôkazom dokážte vetu:

3 mi d a^{2} R i g h t a r r o w 3 mi d a q u a d (t e x t a r o v nak o aj p r e 5)

Cvičenie

Dokážte vetu:

11 mi d n^{2} R i g h t a r r o w 11 mi d n

Cvičenie

Nech t je celé číslo. Dokážte:

t^{3} je nep \overset{a}{ˊ} rne R i g h t a r r o w t je nep \overset{a}{ˊ} rne

Cvičenie

Nepriamym dôkazom dokážte vetu:

3 nmi d (a^{4} + 2) R i g h t a r r o w 3 mi d a

Cvičenie

Nech h je prirodzené číslo. Dokážte:

9 mi d h R i g h t a r r o w 3 mi d h

Cvičenie

Dokážte:

n je p \overset{a}{ˊ} rne R i g h t a r r o w n^{2} je p \overset{a}{ˊ} rne

Cvičenie

Dokážte:

n^{3} je p \overset{a}{ˊ} rne R i g h t a r r o w n je p \overset{a}{ˊ} rne

Cvičenie

Dokážte:

10 mi d (n^{2} + 6) R i g h t a r r o w 5 nmi d n

Cvičenie

Dokážte vety a vyberte najstručnejší dôkaz:

$f or a l l n in ma t hbb N :; 3 mi d (n - 2) R i g h t a r r o w 6 mi d (n^{2} - 5 n + 6)$
$f or a l l n in ma t hbb N :; 2 nmi d n R i g h t a r r o w 16 mi d (n^{4} - 1)$

Cvičenie

Dokážte sporom:

$s q r t 2$
$s q r t 3$
$s q r t 5$

nie sú racionálne.

Cvičenie

Dokážte, že číslo je iracionálne:

l o g_{2} (l o g 5)

Cvičenie

Dokážte: Kolmica zostrojená v bode A na polomer SA nepretne v ďalšom bode kružnicu k(S;|SA|).

Cvičenie

Dokážte, že platí implikácia:

V :; (b p a r a l l e l a w e d g e c p a r a l l e l b) R i g h t a r r o w (c p a r a l l e l a)