Matematika · poznámky

2. Množiny

Pojmy a definície

Základné pojmy

Vysvetli pojmy: množina, prvky množiny, podmnožina, nadmnožina, prienik, zjednotenie a rozdiel množín, Vennove diagramy, disjunktné množiny, prázdna množina, doplnok množiny, konečná a nekonečná množina, počet prvkov množiny. Číselné množiny: N, Z, N0, Z-, Q, I, R.

Definícia

Množina

Súbor navzájom rôznych objektov, ktoré spĺňajú nejakú vlastnosť. Množina je jednoznačne určená, ak o každom objekte viem povedať, či do nej patrí alebo nepatrí. Zvyčajne ju označujeme veľkým písmenom.

Poznámka

Typy množín

konečná – má konečný počet prvkov
nekonečná – má nekonečný počet prvkov (napr. N, intervaly v R)

Poznámka

Spôsoby zápisu množiny

vymenovaním prvkov:: $A = {1, 2, 3, \dots}$
charakteristickou vlastnosťou:: $B = {x \in N ∣ 1 < x < 8}$

Definícia

Prvok množiny

Objekt, ktorý do množiny patrí. Zápis: x ∈ M (x patrí do M), x ∉ M (x nepatrí do M).

Definícia

Podmnožina

A je podmnožinou B, ak každý prvok A je aj prvkom B.

Definícia

Nadmnožina

B je nadmnožinou A, ak A je podmnožinou B.

Definícia

Prázdna množina

Množina bez prvkov.

Definícia

Disjunktné množiny

Množiny bez spoločného prvku.

Strana 1 – definície a pojmy.

Operácie s množinami

Základné operácie

Definícia

Rovnosť množín

A = B, ak sa skladajú z tých istých prvkov.

Definícia

Zjednotenie

Obsahuje prvky, ktoré patria aspoň do jednej z množín A, B.

Definícia

Prienik

Obsahuje prvky, ktoré patria súčasne do oboch množín A aj B.

Definícia

Rozdiel

Obsahuje prvky množiny A, ktoré nepatria do množiny B.

Definícia

Doplnok množiny

Ak A ⊂ X, doplnok A vzhľadom na X je množina prvkov z X, ktoré nie sú v A.

Poznámka

Vennove diagramy

Vlastnosti operácií (z materiálu)

Tabuľka

Vlastnosti množinových operácií (zhrnutie)

Vzťah / zákon	Zápis (LaTeX)
idempotentnosť zjednotenia	$A \cup A = A$
komutatívnosť zjednotenia	$A \cup B = B \cup A$
asociatívnosť zjednotenia	$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C$
idempotentnosť prieniku	$A \cap A = A$
prienik s prázdnou množinou	$A \cap \emptyset = \emptyset$
komutatívnosť prieniku	$A \cap B = B \cap A$
asociatívnosť prieniku	$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C$
distributívnosť	$A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$
distributívnosť (druhá)	$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C)$
dvojitý doplnok	$(A^{c})^{c} = A$
De Morgan 1	$(A \cup B)^{c} = A^{c} \cap B^{c}$
De Morgan 2	$(A \cap B)^{c} = A^{c} \cup B^{c}$
rozdiel cez prienik	$A ∖ B = A \cap B^{c}$

Strana 3 – tabuľka vlastností + číselné množiny.

Číselné množiny

N, Z, Q, I, R

Definícia

Množina prirodzených čísel.

Definícia

Množina celých čísel (vrátane nuly a záporných).

Definícia

Množina racionálnych čísel (zlomky p/q).

Definícia

Množina iracionálnych čísel (nedajú sa zapísať ako zlomok; neperiodický desatinný rozvoj).

Definícia

Množina reálnych čísel (zjednotenie Q a I).

Príklady a úlohy

1–10

Cvičenie

Dané sú množiny:

A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}

B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}

a $A \cap B$
b $A \cup B$
c $A ∖ B$
d $B ∖ A$

Cvičenie

Sú dané množiny:

A = {- 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3}

B = {1, 3, 5}

C = {- 2, 8, 10, 12}

$A ∖ B$
$C \cup A$
$B ∖ C$
$A \cap B$
$A_{Z}^{c}$
$(C ∖ A) \cap B$
$(B \cup C) ∖ A$

Cvičenie

3 (intervaly)

Sú dané tri intervaly:

A = [- 7, 2]

B = (- 2, 5)

C = (2, \infty)

a $A \cap C$
b $(A \cap B) \cup C$
c $(A \cap C) \cup (B \cap C)$
d $A ∖ B$

Cvičenie

4 (doplnky v R)

Sú dané množiny:

A = (- \infty, 10)

B = [- 8, - 1]

C = (- 2, 12]

$A_{R}^{c}$
$B \cup C$
$A \cap B$
$C ∖ A$
$A_{R}^{c} \cap C$
$B ∖ C_{R}^{c}$
$B_{R}^{c} \cap C$
$(A ∖ B)_{R}^{c}$
$(A_{R}^{c} \cup B)_{R}^{c}$
$B \cup (A ∖ C)$
$(B_{R}^{c} ∖ A) ∖ C$
$(B \cup C) \cap A$
$C ∖ (B ∖ A)$
$A \cap B \cap C$

Cvičenie

Nájdite také množiny A, B, pre ktoré platí:

$A \cup B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}$
$A \cap B = {1, 2, 3}$
$B ∖ A = {5, 6}$

Cvičenie

Určte množiny A, B ako podmnožiny množiny {1;2;3;4;5;6;7;8} tak, aby platilo:

$A \cup B = {3, 5, 6, 8}$
$A \cap {4, 6, 8} = \emptyset$
$B \cap {1, 3, 5, 7} = {3, 5}$

Cvičenie

7 (zapíšte vymenovaním prvkov)

a $A = {x \in N ∣ x^{2} < 20}$
b $B = {x \in Z ∣ ∣ x ∣ = 5}$
c $C = {x \in N ∣ x \leq 5}$
d $D = {x \in Z ∣ - 5 \leq x < 5}$
e $E = {x \in Q ∣ 3 x + 1 = x + 5}$
f $F = {x \in Z ∣ 3 x = 5}$
g $G = {x \in N ∣ 2 ∣ x \land x < 16}$

Cvičenie

8 (zapíšte ako intervaly)

a $A = {x \in R ∣ - 1.5 < x \leq 6}$
b $B = {x \in R ∣ ∣ x ∣ \leq 3}$
c $C = {x \in R ∣ 0.5 \leq x \leq 1.5}$
d $D = {x \in R ∣ x < 4}$
e $E = {x \in R ∣ x > - 2}$
f $F = {x \in R ∣ ∣ x ∣ \geq 2}$
g $G = {x \in R ∣ x \leq 0}$

Cvičenie

9 (Vennove diagramy)

Zakreslite pomocou Vennových diagramov dané výrazy (a–g) podľa materiálu.

Cvičenie

10 (inklúzie)

Rozhodnite, či platia množinové inklúzie uvedené v materiáli.

Strana 4 – príklady 1–10.

11–28 (slovné úlohy)

Cvičenie

30 žiakov sa zúčastní turnaja v stolnom tenise alebo v šachu, z toho 8 na oboch. Iba stolný tenis: 19. Koľko žiakov je v šachu?

Cvičenie

Zo 153 zákazníkov: 65 kúpilo 1. druh, 49 kúpilo 2. druh. Tých, čo kúpili oba, je 1/5 z počtu, čo kúpili aspoň jeden. Určte: len prvý, len druhý, obidva, ani jeden.

Cvičenie

Zo 129 študentov: 116 chodí na obed alebo večeru. 62 chodí najviac na jedno z jedál. Na obed chodí o 47 viac než na večeru. Určte: obedy aj večere, len večere, len obedy.

Cvičenie

Každý ovláda aspoň jeden jazyk: 15 anglicky, 12 nemecky, 7 oboma. Nikto iný jazyk. Koľko ľudí je spolu?

Cvičenie

Z 35 žiakov odoberá A: 8, B: 10, ani jeden: 21. Koľko odoberá oba?

Cvičenie

V autodielni: 46 áut, 24 chýb na brzdách, 36 chýb na motore. Koľko áut malo len brzdy a koľko len motor?

Cvičenie

Percentá časopisov A, B, C a ich prieniky sú dané. Určte: koľko % číta práve 2 časopisy a koľko % nečíta ani jeden.

Cvičenie

Na ihrisku 26 detí. Autíčko 11, lopatka 17, len formičku 5. Nikto nemal autíčko aj formičku, každé dieťa aspoň 1 hračku. Práve 2 hračky malo 15 detí. Určte: a) formičku, b) všetky tri, c) len lopatku.

Cvičenie

3 krúžky: foto 16, motor 17, šach 14. Foto∩motor 8, foto∩šach 6, motor∩šach 4. Všetky tri 3. Koľko žiakov je v triede?

Cvičenie

T: trojslabičné slová, S: šesťpísmenové slová, A: slová s písmenom 'A'. Ktoré slovo patrí do (T∪S)∩A? (JAMKA, VIETOR, MONITOR, BUNKA, KLAVÍR)

Cvičenie

V triede 38 žiakov. Beh 16, plávanie 20, ani jedno 10. Koľko robilo oba športy?

Cvičenie

15 chlapcov, 16 dievčat. 11 chlapcov sa vie korčuľovať. 13 detí sa nevie korčuľovať. Koľko dievčat sa vie korčuľovať?

Cvičenie

V triede 24 detí. 9 sa neučí po anglicky. 5 chlapcov sa učí po anglicky. Chlapcov je rovnako ako dievčat. Koľko dievčat sa učí po anglicky?

Cvičenie

V triede 30 detí. Horský bicykel 15. Oba bicykle 5. Bez bicykla 6. Koľko má pretekársky bicykel?

Cvičenie

Na výlete 88 detí. Džús 50, zmrzlina 35, oboje 15. Koľko len džús, len zmrzlina, nič?

Cvičenie

V oáze: vo vode 22 zvierat, z toho 12 hrochov. Stádo má 55 členov, na brehu je 11 slonov. Koľko hrochov je na brehu?

Cvičenie

Trieda 30. 5 má jednotku, nikto neprepadol. 18 má známku (1,2,3). 16 má horšiu ako 2 (t. j. 3 alebo 4). Koľko má trojku?

Cvičenie

V albume 77 fotiek s Adamom alebo Janou. Spolu na 30. Len Jana je o 5 viac než len Adam. Koľko fotiek je len Jana?

Strana 5 – slovné úlohy 11–20.

Strana 6 – slovné úlohy 21–28 + výsledky odkaz.