Matematika · poznámky

4. Premenné a výrazy

Základné pojmy

Konštanta, premenná, obor

Definícia

Konštanta

Stála veličina v nejakom výraze.

Definícia

Premenná

Veličina, ktorá môže nadobúdať nejaký rozsah hodnôt.

Definícia

Obor premennej

Všetky čísla, ktoré môžeme za premennú dosadiť (zadávateľ môže obor určiť; ak neurčí, berie sa zvyčajne množina reálnych čísel).

Poznámka

Základné množiny (obory)

N:: $N = {1, 2, 3, \dots}$
Z:: $Z = {\dots, - 2, - 1, 0, 1, 2, \dots}$
Q:: $Q = {\frac{p}{q} ∣ p \in Z, q \in N}$
I:: iracionálne čísla
R:: $R = Q \cup I$
C:: komplexné čísla

Výrazy a úpravy

Typy výrazov

Definícia

Výraz

Matematický zápis z číslic, písmen (premenných), operácií a zátvoriek.

Definícia

Počtové výrazy

Výrazy pre počtové operácie s číslami v určenom poradí (pomáhajú zátvorky).

Definícia

Algebrické výrazy

Výrazy z čísel a premenných spojených operáciami (jednočlen, mnohočlen, racionálny lomený výraz...).

Definícia

Lomené výrazy

Výrazy v tvare podielu dvoch výrazov, pričom menovateľ musí byť nenulový.

Definícia

Definičný obor výrazu

Množina všetkých hodnôt premenných, pre ktoré má výraz zmysel (je definovaný).

Definícia

Rovnosť algebrických výrazov

V1 = V2, ak majú rovnaké definičné obory a pre každé prípustné hodnoty majú rovnakú hodnotu.

Mnohočleny

Definícia

Mnohočlen (polynóm) v jednej premennej

Výraz tvaru an·x^n + an−1·x^(n−1) + ... + a1·x + a0, kde an ≠ 0.

Poznámka

Pojmy

a0 – absolútny člen
ai – koeficienty
n – stupeň mnohočlena

Doplnenie do štvorca a úprava na súčin

Pojem

Doplnenie do štvorca

Z kvadratického výrazu spravíš tvar a(x+m)^2 + n.

Príklad

x^{2} - 2 x - 1

Riešenie

(x - 1)^{2} - 2

Pojem

Úprava na súčin

Rozklad mnohočlena na súčin (ak sa dá).

Poznámka

Spôsoby rozkladu

1) vynímanie pred zátvorku
2) použitie známych vzorcov
3) rozklad cez korene: x^2+px+q=(x-r)(x-s), kde r+s=-p a rs=q

Známe vzorce

Tabuľka

Známe vzorce (výber)

Vzorec	LaTeX
(a+b)^2	$(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}$
(a-b)^2	$(a - b)^{2} = a^{2} - 2 ab + b^{2}$
a^2-b^2	$a^{2} - b^{2} = (a - b) (a + b)$
(a+b)^3	$(a + b)^{3} = a^{3} + 3 a^{2} b + 3 a b^{2} + b^{3}$
(a-b)^3	$(a - b)^{3} = a^{3} - 3 a^{2} b + 3 a b^{2} - b^{3}$
a^3+b^3	$a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - ab + b^{2})$
a^3-b^3	$a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + ab + b^{2})$

Zlomky a absolútna hodnota

Definícia

Zlomok

Má tvar A/B, kde B ≠ 0 (A, B môžu byť čísla alebo výrazy).

Definícia

Krátenie / rozširovanie zlomku

Delíš alebo násobíš čitateľa aj menovateľa tým istým nenulovým číslom/výrazom — hodnota zlomku sa nemení.

Definícia

Absolútna hodnota

Vzdialenosť čísla od nuly.

Poznámka

Vlastnosti | |

:
:
:
:

Faktoriál a kombinačné číslo

Definícia

Faktoriál

Súčin prirodzených čísel od 1 po n; platí aj 0! = 1.

Definícia

Kombinačné číslo

Pre 0 ≤ k ≤ n platí: