Matematika · poznámky

3. Teória čísel

Pojmy

Vysvetli pojmy

Vysvetli pojmy: n–ciferné číslo, desiatková sústava, dekadický zápis, desatinný rozvoj (konečný, nekonečný, periodický), číslo π, nekonečno, číselná os, interval (uzavretý, otvorený, ohraničený, neohraničený), komutatívny, asociatívny, distributívny zákon, deliteľ, násobok, deliteľnosť, NSD, NSN, prvočíslo, zložené číslo, súdeliteľné/nesúdeliteľné čísla, zvyšok, prvočíselný rozklad, prvočiniteľ, úmera (priama/nepriama), pomer, percento, promile, základ.

Definícia

N-ciferné číslo

Číslo, ktoré sa skladá z n cifier.

Definícia

Desiatková (dekadická) sústava

Pozično-hodnotový systém, kde hodnota cifry závisí od jej pozície (jednotky, desiatky, stovky...; desatiny, stotiny...). Sú to mocniny čísla 10.

Definícia

Dekadický zápis

Zápis čísla v desiatkovej sústave. Každý taký zápis predstavuje práve jedno nezáporné celé číslo.

Definícia

Desatinný rozvoj

Všetky číslice za desatinnou čiarkou. Racionálne čísla majú konečný alebo nekonečný periodický rozvoj; iracionálne majú nekonečný neperiodický rozvoj.

Definícia

Číslo π

Matematická konštanta: pomer obvodu kruhu k jeho priemeru. Je iracionálne.

Definícia

Nekonečno

Abstraktný pojem „bez hraníc“, často používaný ako limitný stav alebo nekonečný počet prvkov.

Definícia

Číselná os

Súradnicová sústava na priamke so zvoleným začiatkom a jednotkou dĺžky; čísla znázorňujeme bodmi.

Intervaly a základné zákony

Intervaly

Definícia

Interval

Podmnožina reálnych čísel medzi dvoma hraničnými bodmi.

Poznámka

Zápis intervalov (príklady)

otvorený:: $(2, 7)$
uzavretý:: $[2, 7]$

Tabuľka

Druhy intervalov

Typ	Zápis	Definícia
Otvorený	$(a, b)$	${x \in R ∣ a < x < b}$
Uzavretý	$[a, b]$	${x \in R ∣ a \leq x \leq b}$
Polouzavretý	$[a, b)$	${x \in R ∣ a \leq x < b}$
Polouzavretý	$(a, b]$	${x \in R ∣ a < x \leq b}$
Neohraničený	$(a, \infty)$	${x \in R ∣ a < x}$
Neohraničený	$[a, \infty)$	${x \in R ∣ a \leq x}$
Neohraničený	$(- \infty, b)$	${x \in R ∣ x < b}$
Neohraničený	$(- \infty, b]$	${x \in R ∣ x \leq b}$
Obojstranne neohr.	$(- \infty, \infty)$	$R$

Komutatívny, asociatívny, distributívny zákon

Vzorec

Komutatívny zákon

a + b = b + a; a \cdot b = b \cdot a

Vzorec

Asociatívny zákon

(a + b) + c = a + (b + c); (a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)

Vzorec

Distributívny zákon

a \cdot (b + c) = a \cdot b + a \cdot c

Deliteľnosť

Základné definície

Definícia

Deliteľ

m je deliteľ k, ak k je deliteľné m bezo zvyšku.

Definícia

Násobok

m je násobok k, ak m je deliteľné k.

Definícia

Deliteľnosť

a je deliteľné b, ak existuje celé k tak, že a = k·b.

Definícia

NSD

Najväčší spoločný deliteľ m a n je najväčšie nenulové prirodzené číslo, ktoré delí obe.

Definícia

NSN

Najmenší spoločný násobok m a n je najmenšie nenulové prirodzené číslo deliteľné oboma.

Definícia

Prvočíslo

Prirodzené číslo, ktorého jediní delitelia sú 1 a ono samo (1 nie je prvočíslo).

Definícia

Zložené číslo

Prirodzené číslo n, ktoré nie je prvočíslo; dá sa zapísať n=a·b, kde a,b>1.

Definícia

Súdeliteľné / nesúdeliteľné

Súdeliteľné majú spoločného deliteľa >1; nesúdeliteľné majú NSD = 1.

Definícia

Zvyšok po delení

Pri delení a číslom b: a = k·b + x, kde 0 ≤ x < b.

Definícia

Prvočíselný rozklad a prvočiniteľ

Rozklad zloženého čísla na súčin prvočísel (prvočiniteľov). Je jedinečný.

Úmery, pomer, percentá

Priama a nepriama úmernosť

Definícia

Priama úmernosť

Funkcia tvaru y = kx (graf je priamka).

Definícia

Nepriama úmernosť

Funkcia tvaru y = k/x (graf je hyperbola).

Definícia

Pomer

Hodnota určená vo vzťahu k inému množstvu (napr. A:B).

Percento, promile, základ

Definícia

Percento

Jedna stotina z celku.

Definícia

Promile

Jedna tisícina z celku.

Definícia

Základ

Celok – 100%.

Príklady a úlohy

Zadania (1–41)

Cvičenie

Zistite poslednú cifru čísla.

9^{999} + 1

Cvičenie

Zapíšte rozvinutý zápis čísel v desiatkovej sústave:

a $28$
b $2001$
c $3245$

Cvičenie

Doplňte cifry A,B tak, aby číslo bolo deliteľné 45:

n = 251 A 8473 B

Cvičenie

Zapíšte:

a n je prirodzené číslo, ktoré pri delení 7 dáva zvyšok 5.
b n je súčet troch po sebe idúcich nepárnych prirodzených čísel.

Cvičenie

Dokážte, že štvorec nepárneho čísla po delení 8 dáva zvyšok 1.

Cvičenie

Obdĺžnik 3960 cm × 825 cm rozdeľte na rovnaké štvorce. Na aký najmenší počet štvorcov?

Cvičenie

Gejzír každých 18 dní, dym zo sopky každých 40 dní. Koľkokrát za 9000 dní nastane opäť spoločný deň po prvom spoločnom pozorovaní?

Cvičenie

Nech n je NSN(a,b) a D je NSD(a,b). Ak D=4 a n=144, určte súčin a·b.

Cvičenie

Určte všetky trojciferné čísla deliteľné 6, kde cifra desiatok je o 4 menšia než cifra jednotiek.

Cvičenie

Doplňte a,b tak, aby štvorciferné číslo bolo deliteľné 15:

n = 21 ab

Cvičenie

Koľko je prirodzených čísel (40,80), ktoré pri delení 9 dávajú zvyšok 5 a pri delení 4 zvyšok 1?

Cvičenie

Aký ciferný súčet má číslo?

1 0^{2001} - 2001

Cvičenie

Rozložte na súčin prvočísel číslo.

2^{36} - 1

Cvičenie

Obsah obdĺžnika je S = 196 cm^2. Nájdite všetky celočíselné rozmery a vyberte ten s najmenším obvodom.

Cvičenie

Predné koleso má obvod 25 dm, zadné 3.2 m. Na akej dráhe spravia prvýkrát celý počet otáčok?

Cvičenie

Určte všetky dvojice prirodzených čísel x,y:

a $2 x + 3 y = 25$
b $x^{2} - y^{2} = 15$

Cvičenie

Ak n je nepárne prirodzené číslo, dokážte, že zlomok možno krátiť 4:

\frac{7 ^{n} + 1}{3 ^{n} + 1}

Cvičenie

Tri ozubené kolesá majú 15, 105 a 819 zubov. Po koľkých otáčkach prostredného kolesa budú zasa v rovnakej polohe?

Cvičenie

Pre prirodzené n: (2n−1) je nepárne, 2n je párne.

a Ukážte, že (nepárne + nasledujúce párne + 1) je deliteľné 4.
b Rozhodnite, či (súčet druhých mocnín párneho a nasledujúceho nepárneho − 1) je deliteľný 4.

Cvičenie

20 (výber)

Najmenšie m, aby hodnota výrazu bola celé číslo:

m (- \frac{3}{5} + \frac{5}{12} - \frac{1}{15} + \frac{7}{20} - \frac{1}{60})

Cvičenie

21 (výber)

a je číslica. Číslo 2a31a je deliteľné 3 práve vtedy, keď a je:

Cvičenie

Nech n,n+1,n+2 sú tri po sebe idúce prirodzené čísla.

a Ukážte, že súčet je deliteľný 3.
b Ukážte, že súčet piatich po sebe idúcich je deliteľný 5.
c Ukážte, že súčet štyroch po sebe idúcich nie je deliteľný 4.

Cvičenie

Dvojciferné číslo: vložením cifry 7 medzi cifry vznikne 11-násobok; pridaním cifry 1 pred číslo vznikne 5-násobok. Nájdite číslo.

Cvičenie

Zapíšte pomocou premenných:

a Peter má o x % viac ako Jano.
b Adam a Boris si rozdelili peniaze v pomere 2:3.

Cvičenie

Zapíšte pomocou rovností/nerovností:

a Polovica A má dĺžku najviac 4.
b Obdĺžnik so stranami a,b má polomer opísanej kružnice 4.

Cvičenie

Súčet A+B je o 80 % väčší ako rozdiel A−B. O koľko % je A väčšie ako B?

Cvičenie

Usporiadajte racionálne čísla od najmenšieho po najväčšie:

$\frac{7}{16}$
$\frac{14}{37}$
$\frac{3}{8}$
$\frac{5}{12}$

Cvičenie

Zapíšte číslo v tvare zlomku:

a 3,5̅7 (periodické)
b 0,72̅ (periodické)

Cvičenie

Znázornite na číselnej osi reálne číslo:

a $r = \frac{5}{3} + 23$
b $r = 7 - \frac{3}{7}$

Cvičenie

Vyjadrite čo najmenším počtom odmocnín:

a $(\frac{2}{5 - 3} + \frac{2}{5 + 3})$
b $\frac{6 + 5}{294 + 245}$

Cvičenie

Vyznačte na číselnej osi všetky reálne x, pre ktoré platí:

a $x - 2 \leq 3$
b $x + 3 > 7$

Cvičenie

Telefónne číslo 7145AB je deliteľné 3,4,5. Nájdite nečitateľné dvojciferné číslo AB.

Cvičenie

V behu: devätina súťažiacich dobehla pred Petrom a päť šestín za Petrom. Na ktorom mieste skončil Peter?

Cvičenie

Súčet prvých 50 kladných celých čísel, Jana jedno vynechala. Dostala súčet deliteľný 60. Ktoré číslo vynechala?

Cvičenie

Nájdite dvojciferné číslo deliteľné 9, ktoré je 4× väčšie ako súčet jeho cifier.

Cvičenie

Párny počet žiakov, zmestili sa do 30-miestneho autobusu. Dievčat bolo 10× viac než chlapcov. Koľko bolo žiakov?

Cvičenie

2010 je súčet troch po sebe idúcich prirodzených čísel. Nájdite aritmetický priemer týchto čísel.

Cvičenie

Nájdite tri prirodzené n≠1 také, že pri delení 37 aj 47 číslom n vyjde rovnaký zvyšok. Určte súčet týchto troch n.

Cvičenie

Fotoaparát: predaj 360€, zisk 30% z ceny. Potom zníženie ceny o 10%. Koľko % z novej ceny tvorí zisk (na 2 des. miesta)?

Cvičenie

Súčet dvoch rôznych prirodzených čísel je 180, NSD je 45. Určte väčšie číslo.

Cvičenie

Určte počet prirodzených čísel v intervale (15,100), ktoré pri delení 7 dávajú zvyšok 3.