Matematika · poznámky

1.a Výroková logika

Základné pojmy

Pojmy

Vysvetli nasledujúce pojmy: výrok, axióma, definícia, hypotéza, tvrdenie, pravdivostná hodnota, logické spojky, negácia, konjunkcia, disjunkcia, implikácia, obmena implikácie, obrátená implikácia, ekvivalencia, vyplýva, je ekvivalentné, kvantifikátor (existenčný, všeobecný, aspoň, najviac, práve).

Definícia

Výrok

Každá oznamovacia veta, ktorá zrozumiteľne niečo oznamuje a o ktorej má zmysel hovoriť, že je pravdivá alebo nepravdivá. Výroky sa označujú veľkými písmenami A, B, ..., Z.

Definícia

Axióma

Tvrdenie, ktoré sa nedokazuje, je bez pochybností pravdivé. Pomocou axióm zavádzame základné matematické pojmy.

Definícia

Určuje názov nového pojmu a jeho charakteristické vlastnosti pomocou základných pojmov.

Definícia

Hypotéza

Oznamovacia veta, ktorá má charakter výroku, o ktorom v danom okamihu nemožno jednoznačne určiť, či je pravdivý alebo nepravdivý (jedna možnosť však musí nastať).

Definícia

Tvrdenie

Výrok, ktorý má byť dokázaný.

Definícia

Pravdivostná hodnota

Priradenie jednej z pravdivostných hodnôt danému výroku. Symbolicky: pravda = 1 alebo p, nepravda = 0 alebo n.

Definícia

Logické spojky

Spojky (napr. a, alebo, ak..., potom..., je ekvivalentné, nie je pravda, že...), pomocou ktorých z jednoduchých výrokov vytvárame zložitejšie výroky.

Poznámka

Symboly logických spojok (v materiáli)

konjunktor:: $w e d g e$
disjunktor (nevylučujúci):: $v ee$
vylučujúci disjunktor:: $v ee v ee$
implikátor:: $R i g h t a r r o w$
ekvivalentor:: $L e f t r i g h t a r r o w$

Definícia

Zložený výrok

Výrok, ktorý vznikol použitím logických spojok.

Tabuľka

Prehľad zložených výrokov

Názov	Zápis	Čítanie	Kedy je pravdivý
Konjunkcia	$A w e d g e B$	A a B	keď A aj B sú pravdivé
Disjunkcia	$A v ee B$	A alebo B	keď aspoň jeden z A, B je pravdivý
Alternatíva (ostrá disjunkcia)	$A v ee v ee B$	Buď A alebo B	keď práve jeden z A, B je pravdivý
Implikácia	$A R i g h t a r r o w B$	Ak A, tak B	neplatí iba v prípade: A pravda a B nepravda
Ekvivalencia	$A L e f t r i g h t a r r o w B$	A práve vtedy, keď B	keď A a B majú rovnakú pravdivostnú hodnotu; ekvivalentné ak platí A⇒B aj B⇒A

Strana 1 – definície + tabuľka logických spojok (A ∧ B, A ∨ B, A ∨∨ B, A ⇒ B, A ⇔ B).

Negácia, implikácie a tabuľky

Negácia, obmena a obrátená implikácia

Definícia

Negácia výroku

Výrok utvorený z daného výroku popierajúci jeho pravdivosť. Negáciu A označujeme ako A′ alebo ¬A. Tvoríme ju napr. „Nie je pravda, že A“ alebo pridaním záporu ne-.

Definícia

Obmena implikácie

Z implikácie A ⇒ B ju vytvoríme tak, že vymeníme poradie A a B a každý znegujeme: B′ ⇒ A′. Implikácia a obmena implikácie majú vždy rovnakú pravdivostnú hodnotu.

Definícia

Obrátená implikácia

Z implikácie A ⇒ B ju vytvoríme tak, že vymeníme poradie A a B: B ⇒ A. Nemusia mať rovnakú pravdivostnú hodnotu.

Tabuľka pravdivostných hodnôt + De Morgan

Tabuľka

Tabuľka pravdivostných hodnôt

A	B	$B^{'}, (= n e g B)$	$A w e d g e B$	$A v ee B$	$A v ee v ee B$	$A R i g h t a r r o w B$	$A L e f t r i g h t a r r o w B$
1	1	0	1	1	0	1	1
1	0	1	0	1	1	0	0
0	1	0	0	1	1	1	0
0	0	1	0	0	0	1	1

Definícia

Výroková forma

Výraz zostavený z výrokových premenných, zátvoriek a logických spojok tak, že po dosadení ľubovoľných výrokov za premenné dostaneme výrok.

Definícia

Tautológia

Výroková forma, ktorá nadobúda hodnotu „pravda“ pri všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt premenných.

Definícia

Kontradikcia

Výroková forma, ktorá nadobúda hodnotu „nepravda“ pri všetkých kombináciách pravdivostných hodnôt premenných.

Definícia

Splniteľná výroková forma

Výroková forma, ktorá aspoň pre jednu kombináciu nadobúda „pravda“ a aspoň pre jednu kombináciu nadobúda „nepravda“.

Tabuľka

Negácia zložených výrokov (De Morganove pravidlá + doplnky z materiálu)

Negovaný výraz	Ekvivalentný tvar
$(A w e d g e B)^{'}$	$A^{'} v ee B^{'}$
$(A v ee B)^{'}$	$A^{'} w e d g e B^{'}$
$(A R i g h t a r r o w B)^{'}$	$A w e d g e B^{'}$
$(A L e f t r i g h t a r r o w B)^{'}$	$(A w e d g e B^{'}) v ee (A^{'} w e d g e B)$

Strana 2 – negácia, obmena/obrátená implikácia, tabuľka pravdivostných hodnôt, De Morganove pravidlá.

Kvantifikátory

Definície + negovanie

Definícia

Jednoduché kvantifikované výroky

Oznamovacie vety, ktoré udávajú presný počet alebo určitý odhad počtu predmetov/osôb a pod., ktoré majú uvedenú vlastnosť.

Definícia

Kvantifikátor

Slovo alebo krátke slovné spojenie vyjadrujúce údaj o počte (napr. žiadny, každý, práve jeden, existuje aspoň jedno...).

Definícia

Všeobecný (veľký) kvantifikátor

Vyjadruje, že každý uvažovaný objekt má (alebo žiadny nemá) danú vlastnosť. Používa sa aj: všetky, ľubovoľný, ktorýkoľvek, ani jeden...

Definícia

Existenčný (malý) kvantifikátor

Vyjadruje, že aspoň jeden uvažovaný objekt má alebo nemá vlastnosť. Používa sa aj: niektorý, možno nájsť, existuje...

Definícia

Negovanie kvantifikovaných výrokov

Buď predradením „Nie je pravda, že...“, alebo častejšie zmenou kvantifikátora.

Tabuľka

Zmena kvantifikátora pri negácii

Výrok	Negácia výroku
aspoň n ... je ...	najviac (n−1) ... je ...
najviac n ... je ...	aspoň (n+1) ... je ...
práve n ... je ...	najviac (n−1) alebo aspoň (n+1) ... je ...
každý ... je ...	aspoň jeden ... nie je ...
aspoň jeden ... je ...	ani jeden ... nie je ...

Strana 3 – kvantifikátory, tabuľka negovania kvantifikovaných výrokov, príklady 1–2.

Úlohy

1. Klasifikácia viet

Cvičenie

Určte, ktorá veta je: výrok / výroková forma / hypotéza / kvantifikovaný výrok

a Graf funkcie $f : y = 2 x^{2}$ prechádza bodom $X [1; 2]$ .
b Otec osôb a, b.
c x je synom y.
d $f or a l l x in ma t hbb R : x^{2} > 4$
e $(m + n)^{2} = m^{2} + 2 mn + n^{2}$
f Číslo 5 vyhovuje rovnici $x + 7 = 12$ .
g $x + 7 = 12$
h Riešte v Z rovnicu!
i Mám ostrý nôž.
j Susedné strany pravouholníka sú zhodné.
k Na Marse existuje život.
l $e x i s t s x in ma t hbb R; t e x t t ak, \overset{z}{ˇ} e; x^{3} = 8$
m $6 x - 2 l e 9$

2. Negácie výrokov

Cvičenie

Vytvorte negáciu výrokov (bez použitia „Nie je pravda, že...“)

a Každý trojuholník má jeden tupý uhol.
b Aspoň jedno prirodzené číslo je menšie ako 6.
c Žiadne prvočíslo nie je párne.
d Mám najviac troch kamarátov.
e Prší.
f Každý mlčal.
g $f or a l l x in ma t hbb R : ∣ x ∣ > 0$
h $e x i s t s x in ma t hbb R : x^{2} = 0$
i Mám jednu sestru a jedného brata.
j Kvadratická rovnica nemá koreň, alebo má dva korene.
k Keď nehovorím, pracujem.
l Na futbal pôjdem práve vtedy, keď nebude pršať.
m Nikto neodišiel.

3–4. Zložené výroky

Cvičenie

3. Z výrokov A, B utvorte (negáciu, konjunkciu, disjunkciu, alternatívu, implikáciu, ekvivalenciu)

A = V sobotu pôjdeme do lesa.B = V nedeľu pôjdeme na návštevu.

Cvičenie

4. Z výrokov X, Y utvorte (implikáciu, obrátenú implikáciu, obmenenú implikáciu, negáciu implikácie)

X = Kúpim mäso.Y = Budem robiť rezne.

5–6. Pravdivostné hodnoty a tautológie

Cvičenie

5. Určte pravdivostnú hodnotu daných výrokov

a $(- 5 < - 4 < - 2) L e f t r i g h t a r r o w 15 l e 8$
b $(0.5 l e 2) R i g h t a r r o w (2 mi d 13 v ee 2 mi d 12)$
c $[s q r t 25 = - 5 w e d g e (- 5)^{2} = 25] L e f t r i g h t a r r o w [(2 n e 8 v ee 3 mi d 9) R i g h t a r r o w 5 l e 9]$
d $f or a l l x in ma t hbb R : x^{2} g e 0$

Cvičenie

6. Určte, či je daný výrok tautológia. Ak nie, určte jeho typ

a $[(A w e d g e B) R i g h t a r r o w C] L e f t r i g h t a r r o w [(A w e d g e C^{'}) R i g h t a r r o w B^{'}]$
b $A L e f t r i g h t a r r o w [A^{'} R i g h t a r r o w (B w e d g e B^{'})]$
c $[(A R i g h t a r r o w B) w e d g e A^{'}] v ee (B R i g h t a r r o w A)$
d $(A L e f t r i g h t a r r o w B) L e f t r i g h t a r r o w [(A w e d g e B) v ee (A^{'} w e d g e B^{'})]$
e $(A w e d g e B^{'}) R i g h t a r r o w (A^{'} w e d g e B^{'})$
f $[A R i g h t a r r o w (B v ee C)] L e f t r i g h t a r r o w [(A R i g h t a r r o w B) v ee (A R i g h t a r r o w C)]$

7–13. Slovné úlohy (logika)

Cvičenie

Ak dostane Peter lístky na zápas, pôjde s ním Pavol. Peter však lístky nedostal. Vyplýva z toho, že Pavol nie je na zápase?

Cvičenie

Ak kúpi Jana lístky, pôjde s ňou Eva do kina. Evu sme stretli v kine. Vyplýva z toho, že Jana kúpila lístky?

Cvičenie

Rodina Cestovateľov: Matka chce Španielsko alebo Taliansko. Syn chce Nórsko alebo Španielsko. Dcéra chce Nórsko alebo Taliansko. Otec navštívil všetky tri štáty. Splnil ich želania? Museli navštíviť tri štáty?

Cvičenie

Spolužiačky Oľga, Petra, Radka, Slávka, Táňa: podmienky účasti sú dané výrokmi (a, alebo, implikácia, ekvivalencia). Neprišla ani jedna. Určte, ktorá sľub dodržala.

Cvičenie

Vierka na ples: tety a matka dávajú 3 podmienky (implikácia, disjunkcia, implikácia). Nájdite možnosti, aby splnila všetky tri.

Cvičenie

Auto: traja motoristi tvrdia rôzne výroky o poruche (disjunkcie + negácie). Prvý nemal pravdu, druhý a tretí mali pravdu. V čom bola chyba?

Cvičenie

Stroje A, B, C: nesmie nastať stav s podmienkou „ak A pracuje, tak B pracuje“ a zároveň „B pracuje práve vtedy, keď C je v pokoji“. Aké sú možnosti činnosti strojov?

Strana 4 – úlohy 3–10 + logické výrazy v úlohách 5–6.